UNIVERSITÀ DI CATANIA – FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Classe Ingegneria Edile Architettura – Anno Accademico 2009/2010

Programma di Geometria

Prof. Giuseppe Paxia

Algebra Lineare:

1) I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare,

prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.

2) I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi.

Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.

3) Spazi vettoriali e loro propriet`a. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipen-

denza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi,

completamento ad una base. Lemma di Steinitz*. Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann*.

Somme dirette.

4) Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi lineari,

teorema di Rouchè-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss). Incognite libere.

Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni. Equazioni cartesiane del

sottospazio generato da vettori. Sistemi ad incognite vettoriali.

5) Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell’inversa di una matrice quadrata. Teorema

di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.

6) Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Iniettività, suriettività,

isomorfismi. Lo spazio L(V , W ), suo isomorfismo* con Km,n . Teorema del confronto delle dimensioni. Studio

delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.

7) Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli au-

tospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici. Teorema

spettrale. Le matrici simmetrice reali sono diagonalizzabili.

Geometria:

1) Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Inter-

sezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.

2) Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le

rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani. Distanze. Fasci di piani.

3) Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortog-

onali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili.

Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Polarità e principali applicazioni. Fasci

di coniche e loro uso per determinare coniche particolari. Determinazione dell’equazione di una conica con

assegnate condizioni.

4) Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Equazioni

ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche. Coni e cilindri. Sezioni di

quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti. Polarità rispetto ad una quadrica non degenere. Proprietà

della polarità. Cono e cilindro circoscritto ad una quadrica. Sistemi di rette sulle quadriche.

Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.

Testi consigliati

G. Paxia: Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2005

S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.

A. Carfagna e L. Piccolella: Complementi ed esercizi di Gemetria e Algebra lineare. Zanichelli, Bologna-2003